代数基本定理

代数基本定理

问题补充说明：谁能给一个代数基本定理的代数证明呀?

首先你要知道Liouville定理。任何在整个复平面解析的360问答复变函数都是有界的。

也就是，如果f(z)在整个复平面每个点都解析，又是有界的，则存在Msuchthat

|f(z)|≤M,∀z∈C.

接下来设p(z)=anz^n+an−1z^n−1··间审知新临写座茶·+a0=0，其中pz是任何一个多项式，

设他没复根。也就是不存在z，使得p(z)=0。

则他的远飞零呀双族化倒数是整个复平面解析的球表河采误。

明显z无穷时|1/p(z)|趋近于0。

因此对于任何ε>0,都有R，使得|1/p(z)|<ε,∀z:|z|>R.

又因为1/pz是连续的，因此对于这个R，存在一个正常数M，使得

|1/p(热什矛赶冷z)|≤M,∀z:|z|≤R

因此|1/p(z)|≤max{ε,M}。因此有界。根据Liouville，他是常数，但显然1/p(z)不是常数，矛盾。

因此他有复根。