【微分几何】椭球面怎么进行Gauss变换

【微分几何】椭球面怎么进行Gauss变换

Gauss变换，指的是针对某个三维正则曲面（处处存在法向量），把曲面上每一个点的单位法向量的起点平移到原点，终点形成的曲面。

正则曲面经过Gauss变换，得到的新的曲面一定是球面上的一部分。

本文就用Mathematica来画出椭球面经过Gauss变换之后的曲面。

椭球面的参数方程可以是？：

r[{u_, v_}] := {Cos[u] Cos[v], Cos[u] Sin[v], Sin[u]}*{3, 4, 5}

.

这个椭球面没有焦点了。

Gauss变换的过程：

ru = D[r[{u, v}], u];

rv = D[r[{u, v}], v];

计算法向量：

uv = Cross[ru, rv];

把法向量化为单位向量：

uv/Sqrt[uv.uv]

把归一化的法向量视为新区面的参数方程，得到一个类似于球面的曲面。

.

这个"球面"中间有一个空腔？

如果直接把向量uv视为新区面的参数方程，得到的曲面如下。

可以看到，中间真的存在凹陷。

椭球面：

{Cos[u] Cos[v], Cos[u] Sin[v], Sin[u]}*{3, 3, 5}

椭球面：

{Cos[u] Cos[v], Cos[u] Sin[v], Sin[u]}*{5, 3, 5}